La vitesse de propagation du speckle optique

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 9071 (2023) Citer cet article

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Que la vitesse de la lumière dans le vide soit constante est une pierre angulaire de la physique moderne. Or, des expériences récentes ont montré que lorsque le champ lumineux est confiné dans le plan transverse, la vitesse de propagation observée de la lumière est réduite. Cet effet est une conséquence de la structure transversale qui réduit la composante de vecteur d'onde de la lumière dans la direction de propagation, modifiant ainsi à la fois la phase et la vitesse de groupe. Ici, nous considérons le cas du speckle optique, qui a une distribution transversale aléatoire et est omniprésent avec des échelles allant du microscopique à l'astronomique. Nous étudions numériquement la vitesse de propagation plan à plan du speckle optique en utilisant la méthode d'analyse du spectre angulaire. Pour un diffuseur général à diffusion gaussienne sur une plage angulaire de 5°, nous calculons que le ralentissement de la vitesse de propagation du speckle optique est de l'ordre de 1 % de la vitesse en espace libre, ce qui entraîne un retard temporel significativement plus élevé par rapport aux faisceaux de Bessel et Laguerre–Gaussiens considérés précédemment. Nos résultats ont des implications pour l'étude du chatoiement optique en laboratoire et en astronomie.

La vitesse de la lumière est une propriété fondamentale de la lumière, tant en termes d'ondes que de photons. Il est généralement admis que la vitesse dans le vide est une constante c, qui est l'une des unités fondamentales de la nature à partir de laquelle l'unité de longueur est définie1. La communauté de la physique optique, cependant, a été fascinée par le contrôle et l'observation des écarts par rapport à cette constante. Un exemple bien connu est le phénomène connexe de lumière lente et rapide2,3,4, où la vitesse de groupe des impulsions lumineuses est modifiée par un système matériel, y compris les vapeurs atomiques5, les atomes ultrafroids6, les fibres optiques7,8,9, les cristaux photoniques10, etc.11,12,13,14. La base de ces effets est généralement associée à la dispersion chromatique d'une impulsion lumineuse, qui tend à s'étaler ou à se déformer dans le temps lorsqu'elle se propage à travers un milieu optique. Un mécanisme alternatif pour contrôler la vitesse de groupe de la lumière consiste à utiliser des paquets d'ondes invariants à la propagation avec une structure spatio-temporelle sous-jacente15, tels que les impulsions de Bessel-X16 et des paquets d'ondes spatio-temporelles17, 18. Sur la base de ces phénomènes, diverses stratégies ont été proposées pour réaliser la propagation superluminale19,20,21,22 et des vitesses de groupe ajustables arbitrairement23,24,25,26 dans l'espace libre. De telles implémentations sont facilitées par le couplage espace-temps, où les impulsions lumineuses subissent une sculpture spatio-temporelle via une corrélation étroite entre les degrés de liberté spatiaux et temporels15, 18.

En plus de ces différents phénomènes, il a été reconnu plus récemment que le confinement transverse d'une onde ou la structure spatiale d'un seul photon va modifier sa vitesse de propagation, se traduisant par une vitesse de groupe subluminale27. Cette modification provient de la divergence ou convergence du faisceau du fait de la structure transversale du faisceau. Un tel ralentissement de la vitesse de propagation, induit par la structure spatiale, est qualifié de "lumière lente structurée", qui peut se produire en l'absence de tout milieu. Pour un exemple simple, dans un guide d'onde creux, les modes transversaux se déplaçant entre deux plans donnent une vitesse de groupe inférieure à c28. Selon la théorie des guides d'ondes, la relation entre la vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupe vg,z le long du guide d'ondes apparaît sous la forme vϕvg,z = c229. Cela signifie que, compte tenu de la réduction du vecteur d'onde projeté axial kz le long du guide par rapport au nombre d'onde fixe k0, il existe une vitesse de phase supérieure à c, et il en résulte une vitesse de groupe réduite, où \(k_{0} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0pt} \lambda }\) et λ est la longueur d'onde optique. Il convient de souligner ici que ce ralentissement n'est pas causé directement par le guide d'onde mais plutôt par les conditions aux limites que le guide d'onde impose à la structure spatiale transversale.

Il convient de noter que l'effet de ralentissement de cette lumière structurée est distinct de la vitesse de groupe locale changeant près du foyer causée par le déphasage de Gouy30, 31, bien qu'ils soient tous deux liés aux restrictions spatiales transversales du faisceau. Le ralentissement de la lumière structurée persiste du champ proche au champ lointain, de sorte que le retard total lors de la propagation est bien supérieur à l'impact de l'effet de phase Gouy qui ne se produit qu'à proximité du foyer.

En coordonnées cylindriques, la relation de dispersion dans l'espace libre prend la forme \(k_{z}^{2} + k_{r}^{2} = ({\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0pt} c})^{2}\), où \(k_{r} = k\sin \theta\) et \(k_{z} = k\cos \theta\) sont les composantes radiale et axiale du vecteur d'onde, ω est la fréquence temporelle et θ est l'angle du vecteur d'onde par rapport à l'axe du faisceau. En prenant comme exemple le cas des faisceaux de type Bessel, il existe trois manières alternatives de générer des faisceaux polychromatiques à localisation transverse qui conduisent à des propriétés de propagation distinctes. Premièrement, les ondes de Bessel-X avec un angle de propagation indépendant de la fréquence \(\theta\) qui possèdent une propagation sans diffraction et sans dispersion à des vitesses de groupe supraluminiques20, deuxièmement, des paquets d'ondes espace-temps 3D invariants en propagation avec un couplage espace-temps parabolique \(k_{r} \propto \sqrt {\left| {\omega - \omega_{0} } \right|}\) qui conduit à des vitesses de groupe arbitraires en libre (ω0 est la fréquence centrale)32, et enfin les faisceaux pulsés de Bessel – Gauss avec un vecteur d'onde radial indépendant de la fréquence kr se déplaçant à des vitesses de groupe subluminales dans l'espace libre33, 34. Les ondes de Bessel-X générées via l'axicon et les paquets d'ondes spatio-temporelles 3D conservent un profil spatio-temporel en forme de X en raison du couplage espace-temps avec le profil transversal de type Bessel.

Pour illustrer les différences, dans le cas des ondes de Bessel-X, le couplage espace-temps prend la forme de \({{k_{z} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{z} } k}} \right. \kern-0pt} k} = \cos \alpha\), où α est l'angle de l'axicon, conduisant à une valeur superluminale pour la vitesse de phase et la vitesse de groupe, c'est-à-dire \({{v_{\phi } = v _{g} = c} \mathord{\left/ {\vphantom {{v_{\phi } = v_{g} = c} {\cos \alpha }}} \right.\kern-0pt} {\cos \alpha }}\). Au contraire, les faisceaux pulsés de Bessel-Gauss synthétisés à l'aide d'une fente annulaire ou d'un élément diffractif équivalent sont dotés d'une fréquence spatiale kr pour toutes les fréquences temporelles ω, conduisant à une propagation dispersive à des vitesses de groupe subluminales dans l'espace libre34. Du fait du spectre spatial fixe kr sur toute la bande spectrale dans ce dernier cas, à la limite quasi-monochromatique, on peut considérer ces faisceaux comme des champs spatialement structurés sans tenir compte de leur corrélation spatio-temporelle27. Dans le régime paraxial, contrairement aux paquets d'ondes spatio-temporelles dont la vitesse de groupe est réglable sur une large gamme de valeurs32, la variation des vitesses de groupe des ondes de Bessel-X et des faisceaux pulsés de Bessel-Gauss à partir de c est limitée par l'ouverture numérique (NA) du système19, 20.

Au-delà des faisceaux de Bessel, plus généralement, lorsque l'on considère la vitesse de groupe ou des mesures similaires pour la vitesse de propagation d'une impulsion de longueur finie, il est important de reconnaître que toute impulsion de longueur finie a une propagation de valeurs k0, bien que potentiellement très petite. À cet égard, il est essentiel que les dérivées des différentes composantes de k par rapport à k0 soient examinées. Lors de la génération d'un faisceau lumineux structuré, deux approches différentes doivent être envisagées. La première de ces approches concerne l'utilisation d'une optique réfringente ou réfléchissante où, en ignorant la dispersion, les composantes transversales de k, c'est-à-dire kx et ky s'échelonnent linéairement avec k0. La seconde de ces approches est lors de l'utilisation d'une optique diffractive où la composante transverse de k est indépendante de k0. Dans notre cas, nous considérons la seconde de ces deux approches où la diffraction est mise en œuvre à l'aide d'un modulateur spatial de lumière (SLM), dans son mode hors axe. Dans la suite de ce travail, nous supposons le cas où les composantes transverses de k sont indépendantes de k0.

Ces dernières années, des analyses théoriques et des démonstrations expérimentales ont été réalisées pour révéler l'effet de la lumière lente structurée appliquée aux faisceaux de Bessel, aux faisceaux focalisés27, 35, aux faisceaux de Laguerre-Gaussien (LG)36, 37 et à l'effet intrinsèque du moment angulaire orbital (OAM)38. Par exemple, le ralentissement observé expérimentalement, ou le retard de groupe correspondant, dans les expériences de Giovannini27 est d'environ une partie sur 105 par rapport aux valeurs de référence. Elle est limitée par une faible divergence spatiale des faisceaux, qui correspond aux trajectoires obliques des rayons optiques dans l'optique géométrique39. Ce ralentissement d'un faisceau lumineux structuré s'est révélé proportionnel au carré de sa divergence, exprimée quantitativement par \(\theta = {{k_{r} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}} {k_{0} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0} }}\) dans l'approximation aux petits angles27. La divergence maximale de la lumière est limitée par l'ouverture numérique du système optique de support qui est définie comme le rapport entre l'ouverture limite et la distance à partir de cette ouverture. Pour calculer le retard associé à cette réduction de la vitesse de propagation, il faut également tenir compte de la distance sur laquelle se produit la propagation. Ainsi, pour que des faisceaux lumineux structurés soient produits et détectés avec une ouverture fixe, la combinaison de la mise à l'échelle du ralentissement avec la distance de propagation signifie que le retard temporel maximal est proportionnel à l'inverse de la distance de propagation, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un effet à courte portée. En prenant le faisceau de Bessel comme exemple, pour un rayon fini, une distance de propagation sans diffraction plus longue est maintenue par un angle de cône plus petit40, ce qui réduit l'effet de ralentissement. Dans ce présent travail, nous ne considérons pas un faisceau spécifiquement structuré mais plutôt le cas général du speckle optique aléatoire, qui peut être créé sur un très grand champ de vision et avec de longues distances de propagation permettant la possibilité de retards temporels importants.

Le chatoiement optique provient de l'interférence entre les distributions aléatoires des composantes d'ondes planes, telles que celles générées par la diffusion de la lumière à partir de surfaces rugueuses ou se propageant à travers des diffuseurs troubles41. Par exemple, lorsqu'un laser est incident sur un objet tel qu'un verre dépoli ou un écran de diffusion, la lumière transmise ou réfléchie serait observée avec un motif granulaire à petite échelle. Selon le principe de Huygens-Fresnel, le speckle optique résultant de la diffusion de la lumière cohérente peut être considéré comme l'interférence causée par différents points de diffusion qui agissent comme de nouvelles sources d'ondes individuelles presque sphériques. Etant donné que l'angle solide sous-tendu par le système de détection est suffisamment petit, chaque onde sphérique dans le volume d'espace autour de l'ouverture de visualisation est approximée par une onde plane. Par conséquent, l'approximation d'onde plane est largement utilisée pour simuler mathématiquement le speckle optique42, 43. Dans ce travail, nous modélisons le speckle optique comme une superposition d'un grand nombre d'ondes planes avec des phases et des directions aléatoires, comme le montre la figure 1a. Le motif d'intensité du chatoiement a un aspect granuleux, où les points lumineux et les taches sombres proviennent respectivement de l'interférence constructive et destructive. En particulier, le centre de chaque tache sombre est une singularité de phase, et en 3 dimensions ces filaments sombres s'enfilent à travers le champ de tache créant des réseaux très compliqués de lignes et de boucles de vortex44,45,46. Intuitivement, le spectre angulaire du champ lumineux peut être mappé à l'espace de direction des vecteurs d'onde (espace k), c'est-à-dire avec une correspondance d'amplitude avec le spectre k, où chaque point représente une onde plane, à laquelle est attribuée des composantes projetées transversales aléatoires (kx et ky), comme illustré à la Fig. 1b. La composante radiale non nulle correspondante \(k_{r} = \sqrt {k_{x}^{2} + k_{y}^{2} }\) produit une modification de la composante axiale moyenne \(\left\langle {k_{z} } \right\rangle = \sqrt {k_{0}^{2} - \left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle }\), où \(\left\langle { ...} \right\rangle\) désigne l'espérance statistique sur le spectre k.

Speckle optique dans l'espace libre et l'espace k. (a) La superposition entre un ensemble suffisamment grand d'ondes planes en phase et dirigées de manière aléatoire est une approximation du chatoiement optique créé par la diffusion d'un faisceau laser à partir d'un diffuseur. (b) spectre k du speckle optique et projection de l'un des points dans l'espace directionnel des vecteurs d'onde.

Pour caractériser la vitesse de propagation du speckle optique, nous introduisons les vitesses de phase et de groupe qui sont moyennées sur toutes les composantes d'onde dont nous avons montré précédemment qu'elles correspondent au temps que mettent la lumière ou les photons à se déplacer d'un plan à l'autre. Différente de la définition conventionnelle de la vitesse de groupe47, la vitesse de groupe spatialement moyenne fait référence à l'enveloppe d'énergie de déplacement d'un groupe d'ondes planes avec une petite propagation dans les directions (c'est-à-dire les composantes spatiales dans le spectre k) plutôt qu'en fréquences ou en nombres d'onde (c'est-à-dire les composantes temporelles dans le spectre de fréquences). La vitesse de phase moyennée spatialement est alors donnée par \(v_{\phi } = c \cdot {{k_{0} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0} } {\left\langle {k_{z} } \right\rangle }}} \right. \kern-0pt} {\left\langle {k_{z} } \right\rangle }}\) par la valeur moyenne de kz. Pour un faisceau structuré en espace libre, il semble raisonnable que la vitesse de groupe moyenne et la vitesse de phase aient la même relation que dans la théorie des guides d'ondes creux, c'est-à-dire \(v_{\phi } v_{g,z} = c^{2}\). La condition est mieux satisfaite lorsque nous supposons que la projection radiale du vecteur d'onde kr dans le speckle optique analysé ici est indépendante de sa fréquence angulaire ω. La vitesse de groupe spatialement moyenne résultante le long de z est donc donnée par

ce qui signifie que les faisceaux structurés avec une valeur d'espérance non nulle de \(k_{r}^{2}\), dont le chatoiement optique est un exemple, connaîtront une vitesse de propagation réduite, c'est-à-dire vg,z < c.

Nous soulignons que le champ optique considéré ici est quasi-chromatique, c'est-à-dire que les fréquences du groupe d'ondes sont regroupées dans une région très étroite autour de la fréquence principale. Le champ doté de \({k}_{r}\) fixe subit toujours une dispersion de vitesse de groupe (GVD) lorsque le faisceau d'entrée est pulsé. Ceci est une autre distinction entre l'effet de la lumière lente structurée et le contrôle de la vitesse de groupe avec des paquets d'ondes spatio-temporelles, ce qui entraîne une propagation sans dispersion48, 49. Cependant, dans la lumière lente structurée, la quantité de GVD est insignifiante par rapport au retard de groupe différentiable \(\tau_{DGD} = L\left| {\frac{1}{c} - \frac{1}{{v_{g} }}} \right|\) acquis par cette impulsion, où L est la propagation axiale éloignement. On peut montrer que pour l'impulsion de largeur de bande spectrale Δω et le vecteur d'onde spatial kr, le rapport de l'élargissement de l'impulsion Δτ au retard de groupe différentiable \(\tau_{DGD}\) est proportionnel à \(\frac{\Delta \omega }{{\omega_{0} }}\), qui est au régime quasi-monochromatique est négligeable, c'est-à-dire \(\frac{\Delta \tau }{{\tau _{DGD} }} \sim \frac{\Delta \omega }{{\omega_{0} }} \ll 1\)49, 50.

Comme introduit précédemment, pour générer expérimentalement un speckle optique avec des composants kr indépendants de k0, il faut des éléments diffractifs, par exemple des motifs de réseau superposés téléchargés sur SLM. Pour une seule onde plane randomisée produite par un hologramme de motif de réseau avec une séparation de franges d, les composantes transversales résultantes kx (ky) sont 2π/dx (2π/dy) et kr est indépendant de la longueur d'onde. Chaque hologramme d'onde plane se voit attribuer trois variables individuelles : l'angle polaire, l'angle d'azimut et le décalage de phase, où les angles polaires sont distribués avec un profil gaussien, et les angles d'azimut et les décalages de phase sont un bruit uniforme. L'hologramme de phase résultant téléchargé sur SLM comprend les vecteurs d'onde de speckle optique en combinant les motifs de réseau.

Pour modéliser numériquement un tel speckle optique, nous définissons une grille bidimensionnelle finie dans l'espace k transversal, où chaque point décrit une onde plane inclinée de θx et θy par rapport à l'axe de propagation. D'après le théorème central limite51, les superpositions d'une infinité d'ondes tendent vers des fonctions aléatoires gaussiennes52. Les ensembles d'harmoniques plans sont asymptotiquement gaussiens, ce qui signifie que la distribution de densité de probabilité de chaque direction inclinée (θx et θy) suit une distribution gaussienne 2D, comme le montre la figure 2a. Notre simulation de speckle optique est basée sur une superposition de 2000 ondes planes réparties aléatoirement en direction et en phase, et dont chacune a un profil d'amplitude gaussienne. Leur distribution dans l'espace k est soumise à une distribution de densité gaussienne, caractérisée par une divergence de sin σθ dans l'espace libre, où σθ est l'écart type des angles inclinés des vecteurs d'onde. Un exemple typique pour σθ = 5° est calculé sur la Fig. 2b. Le profil d'intensité résultant du speckle optique dans le champ lointain est illustré à la Fig. 2c. En effectuant une transformée de Fourier 2D pour l'amplitude complexe du champ de speckle, son spectre k est obtenu comme indiqué sur la figure 2d, où les coordonnées sont divisées par le nombre d'onde initial k0. On peut voir que le spectre k du speckle optique a une enveloppe de densité gaussienne 2D, qui dépend de la distribution des directions inclinées des vecteurs d'onde sur la figure 2b. Plus important encore, dans le régime paraxial, l'effet de la lumière se propageant sur z dans l'espace libre est simplement un changement de phase dans les composantes de son spectre angulaire, puis puisque le spectre k est mathématiquement équivalent au module du spectre angulaire, le spectre k du speckle optique est invariant à la propagation, ce qui signifie que son ralentissement persiste sur des distances arbitrairement longues.

Un exemple de génération numérique de chatoiement optique. ( a ) Distribution de densité de probabilité gaussienne des directions inclinées dans l'espace k. (b) Points directeurs avec densité gaussienne d'écart type de 5°. ( c ) Profil d'intensité du speckle optique créé par l'interférence entre les ondes aléatoires gaussiennes avec des directions comme ( b ). ( d ) Spectre k calculé du champ de speckle par transformée de Fourier 2D de son amplitude complexe.

Le speckle optique est généralement caractérisé par sa taille latérale, qui fait référence à l'échelle de longueur la plus basse à laquelle le faisceau est corrélé53. En particulier, pour un champ de chatoiement entièrement développé créé par une surface de diffusion, la taille du chatoiement augmente avec la distance entre la surface et le plan d'observation54, 55. Du point de vue de l'interférence des ondes planes, plus l'angle d'inclinaison est grand, plus le gradient de variation de phase transversale est grand, puis plus les franges d'interférence sont denses. Au sens de Fourier, les propriétés statistiques à haute complexité dans l'espace réel correspondent à un spectre angulaire élargi. Cela signifie que la plage du spectre k des taches est négativement corrélée à la taille des taches.

Pour évaluer le degré de ralentissement de ce chatoiement optique créant numériquement, nous divisons radialement le spectre k de la Fig. 2d en fonction des échelles 1000 uniformément équidistantes sur les \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0} ^{2} }}\) axe. En additionnant et en normalisant toutes les amplitudes avec les régions d'anneau individuelles divisées à partir du spectre k, chaque anneau est calculé comme un point de valeur avec une probabilité normalisée globale le long de l'axe \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2}} {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\), comme indiqué dans la Fig. 3. Physiquement, chaque point discret représente la probabilité d'une onde plane qui apparaît dans une \({{\Delta k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) région annulaire de l'espace k, où \(\ Delta k_{r}^{2}\) est la valeur de division sur l'axe. Dans ce cas (σθ = 5°), la valeur \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) est calculée comme 0,022465, puis la vitesse de groupe spatialement moyenne d'un tel chatoiement optique est calculée par l'Eq. (1) comme \(v_{g,z} \environ 0,9887c\). Cela signifie que la vitesse de propagation d'un speckle optique de divergence gaussienne d'écart type de 5° correspond à un ralentissement de 1,13% en espace libre.

Distribution statistique des composantes inclinées dans le speckle optique. Les points discrets représentent la distribution de probabilité des composantes du spectre k calculées le long des échelles du carré de proportion radial. La courbe pleine est la distribution de densité de probabilité théorique du carré de proportion radiale à partir d'un spectre angulaire gaussien continu idéal.

En plus de l'échantillonnage discret du spectre k de speckle optique à titre d'exemple, une distribution de densité de probabilité continue de proportion radiale carré \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) peut être déduite du Gauss spectre angulaire ian mathématiquement comme

où sin σθ fait à nouveau référence à la divergence du speckle optique. La figure 3 montre un bon ajustement entre la courbe théorique de l'Eq. (2) et les points d'échantillonnage d'un spectre k typique sur la figure 2d.

Nous effectuons une analyse numérique de la relation entre l'effet de ralentissement en fonction de la divergence du speckle optique. En particulier, la divergence fait référence à l'angle d'étalement, qui décrit l'écart type des angles inclinés des vecteurs d'onde, comme indiqué dans l'encadré de la Fig. 4. En ajustant progressivement σθ de 0,5° à 5° à des intervalles de 0,5°, nous calculons la valeur \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_ {r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right.\kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) et le ralentissement correspondant, comme illustré à la Fig. 3. Comme prévu, l'effet de ralentissement prévu devient plus important à mesure que la divergence augmente.

Quantification numérique de l'effet de ralentissement du speckle optique. (a) Valeurs attendues du carré de la proportion radiale et (b) degré de ralentissement sous différentes divergences de speckle optique. L'encart est un schéma de divergence du speckle optique où σθ est le demi-angle d'étalement qui décrit les composantes d'onde plane inclinées.

Au-delà des simulations numériques décrites ci-dessus, l'expression théorique de l'effet de ralentissement en est également déduite. Selon la distribution de densité de probabilité du carré proportionnel radial \({{k_{r}^{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{r}^{2} } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) dans l'équation. (2), sa valeur attendue est calculée comme

où l'infini de la limite supérieure dans l'intégrale n'a de sens que mathématiquement pour sa normalisation dans tout l'espace, alors que plus strictement en physique, la limite supérieure devrait être 1 puisque kr < k0. Clairement, \({{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {k_{r}^{2} } \right\rangle } {k_{0}^{2} }}} \right. \kern-0pt} {k_{0}^{2} }}\) est proportionnel au carré de la divergence du chatoiement optique , voir la courbe continue de la Fig. 4a. En utilisant l'éq. (1), pour les petits angles σθ, le degré de ralentissement du speckle optique est théoriquement calculé comme

La figure 4b indique l'accord entre la courbe théorique et les valeurs moyennes de chaque résultat calculé par méthode statistique discrète. Notez que l'éq. (4) n'est applicable que pour le cas à faible NA afin d'assurer une approximation paraxiale. De manière significative, le ralentissement du speckle optique peut atteindre de l'ordre de 1% même avec une faible divergence de faisceau. Sur une plage de plusieurs mètres, le retard temporel du speckle optique devrait donc être amélioré de trois ordres de grandeur pour la même distance parcourue par rapport aux faisceaux de Bessel ou focalisés précédemment mesurés27.

Pour anticiper le ralentissement observable dans un système de détection pratique, nous considérons le rôle que joue l'ouverture du détecteur. L'AN est une restriction sur l'espace k lorsque le chatoiement optique est observé par un détecteur ou nos yeux, comme le montre l'encart de la Fig. 5. Lorsque l'on considère la restriction sur la collecte complète des harmoniques spatiales du chatoiement optique par le système de détection, la limite supérieure de l'intégrale dans l'Eq. (3) est remplacé par NA2 à partir de l'infini. Dans les paramètres d'initialisation du calcul ici, la taille du faisceau du profil d'intensité à distribution gaussienne du chatoiement optique est définie sur 2 mm, et son demi-angle d'étalement est défini sur 5°. La figure 5 montre le degré de ralentissement calculé sous différentes NA, où la ligne pointillée prédite par Eq. (4) fait référence au cas idéal sans restriction de NA, et la courbe solide est prédite par l'équation modifiée. (3), et les points de données sont obtenus avec 8 calculs en filtrant l'amplitude complexe du champ de speckle dans le spectre k. Étant donné que la NA est une restriction de la plage maximale du spectre angulaire, le spectre angulaire en dehors de cette plage est filtré, ce qui est analogue à un filtrage passe-bas tandis que les composantes supérieures du spectre k donnent un ralentissement plus important. Cela signifie que la réduction de la NA du système de détection réduira évidemment l'effet de ralentissement correspondant, comme on le voit sur la Fig. 5. En revanche, une ouverture de faisceau, c'est-à-dire une restriction transversale à la propagation de la lumière dans l'espace réel, n'aurait pas d'impact considérable sur l'effet de ralentissement puisque des harmoniques spatiaux entiers peuvent passer l'ouverture, mais la restriction de l'ouverture du faisceau réduirait la résolution du spectre k du champ en raison de la correspondance du maximum de la taille du faisceau au minimum de l'espace k. Notons que l'effet de ralentissement structuré analysé dans ce travail est une propriété globale. Cependant, lorsque l'on observe le grain local du speckle optique, l'effet de ralentissement structuré est conservé même dans une petite région d'intérêt, car tout kr transverse pourrait contribuer au comportement de la lumière dans cette région.

Restrictions du système pratique sur l'effet de ralentissement du chatoiement optique où le chatoiement lui-même a une divergence de 5° et le détecteur a une NA limite. Le degré de ralentissement calculé sous différentes ouvertures numériques (NA) du système de détection. L'encart est un schéma d'un système de détection pour observer la propagation plan à plan du speckle optique.

En conclusion, nous avons estimé que le ralentissement des faisceaux lumineux structurés dans l'espace libre27 s'étend au-delà des faisceaux gaussiens focalisés et de Bessel considérés dans ce travail pour inclure une structuration aléatoire telle que le speckle optique. Dans tous les cas, le ralentissement provient d'une composante non nulle du vecteur d'onde transverse qui réduit la composante axiale du vecteur d'onde en dessous de la valeur d'onde plane en espace libre. Comme dans le cas d'un guide d'ondes creux, cette réduction augmente la vitesse de phase le long de l'axe optique au-dessus de c, ce qui à son tour réduit la vitesse de groupe en dessous de c. Étant donné que la distribution angulaire des vecteurs d'onde décrivant un faisceau ne change pas lors de la propagation dans l'espace libre, ce ralentissement n'est pas limité au voisinage du foyer, il persiste plutôt dans le champ lointain. L'ampleur du ralentissement dépend de l'ouverture numérique limite associée à la génération, à la transmission et à la détection, celle qui est la plus faible.

Dans notre analyse nous nous sommes limités aux coordonnées cartésiennes ou radiales qui conviennent à une configuration optique à ouverture numérique modeste. Cependant, nous notons que les échelles de ralentissement prédites quadratiquement avec l'ouverture numérique et bien qu'en dehors de la portée de ce travail, ou même de toute expérience à ce jour, cela soulève la question de savoir quel pourrait être l'effet équivalent pour les scénarios où le speckle sous-tend sur un grand angle solide tel que la microscopie confocale 4Pi56.

Un autre exemple intrigant de systèmes à grande ouverture numérique présentant un chatoiement est l'anisotropie du fond diffus cosmologique (CMB). Cela a de nombreux parallèles avec la formation de mouchetures, où les photons micro-ondes circulent librement de la surface de la dernière diffusion vers l'observateur et dont l'anisotropie intrinsèque est reconnue comme les petites fluctuations de température imprimées sur la surface de la dernière diffusion57. Selon les données mesurées du spectre de puissance58, les fluctuations de température du CMB montrent une fonction d'échelle angulaire. Se pourrait-il que les motifs CMB subissent des effets de ralentissement similaires à ceux du speckle à haute NA et que les motifs CMB vus à différentes échelles angulaires puissent avoir des temps d'arrivée différents ?

Enfin, pour les NA faibles et fortes, il est intéressant de réfléchir au fait que le codage spatial des données sur la structure transverse d'un faisceau lumineux nécessite une composante transverse au vecteur d'onde et donc un ralentissement associé. Un tel ralentissement semble donc être une conséquence inéluctable de la structure spatiale telle qu'exprimée en termes de contenu d'information spatiale ou d'entropie de la lumière.

Ces considérations font l'objet de nos études en cours.

Les codes MATLAB pour l'ensemble complet des résultats sont disponibles en ligne dans le référentiel de données de la bibliothèque de l'Université de Glasgow (http://dx.doi.org/10.5525/gla.researchdata.1414).

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École de physique et d'astronomie, Université de Glasgow, Glasgow, G12 8QQ, Royaume-Uni

Zhenyu Wan et Miles J. Padgett

CREOL, The College of Optics and Photonics, University of Central Florida, Orlando, FL, 32186, États-Unis

Murat Essenov

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MJP a développé le concept et supervisé le projet. ZW et MJP ont conçu et mis en œuvre la méthodologie. ZW a effectué le calcul et collecté les données. ZW, MY et MJP ont rédigé et révisé le manuscrit.

Correspondance à Miles J. Padgett.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Wan, Z., Yessenov, M. & Padgett, MJ La vitesse de propagation du chatoiement optique. Sci Rep 13, 9071 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35990-z

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Reçu : 21 mars 2023

Accepté : 26 mai 2023

Publié: 05 juin 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-35990-z

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